Processant ...

Aquesta proposta de Treball de Fi de Grau se centra en l'estudi del problema invers del càlcul de variacions. L'objectiu principal és determinar sota quines condicions un sistema d'equacions diferencials ordinàries donat, que pot descriure trajectòries o la dinàmica d'un sistema físic, pot formular-se com un problema variacional derivat d'un Lagrangià regular. Aquest repte s'aborda principalment mitjançant l'estudi de les condicions de Helmholtz i la cerca de multiplicadors adequats. La resolució d'aquest problema és de gran interès teòric, ja que permet vincular directament les equacions de moviment amb principis fonamentals i lleis de conservació subjacents. El projecte adoptarà una visió de futur, partint d'una base històrica que va des de les primeres formulacions del segle XIX fins a l'exhaustiva classificació de Douglas per a problemes bidimensionals, per endinsar-se després en els enfocaments moderns basats en la geometria diferencial. A més de consolidar la teoria subjacent, s'investigaran aplicacions rellevants en àrees clau per a la ciència actual, com ara la mecànica celeste, l'estudi de sistemes mecànics amb restriccions no holonòmiques i el disseny de Lagrangians per a la teoria de control de sistemes.